\chapter{杨-米尔斯规范理论推导（1954）}

		\begin{abstract}
			本文详细推导了杨振宁与米尔斯于1954年提出的非阿贝尔规范理论。从量子电动力学的U(1)规范对称性出发，推广至SU(2)同位旋对称性，构建了相应的规范场理论，为现代规范场论奠定了基础。		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯将电磁相互作用的规范对称性从U(1)群推广到非阿贝尔群（特别是SU(2)群），提出了一种新的规范场理论。这项工作后来成为粒子物理标准模型的数学基础。
		
		\section{U(1)规范对称性的回顾}
		在量子电动力学中，拉氏量在局域U(1)规范变换下保持不变：
		
		\begin{equation}
			\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x)
		\end{equation}
		
		要求协变导数：
		\begin{equation}
			D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu
		\end{equation}
		
		规范场$A_\mu$的变换为：
		\begin{equation}
			A_\mu \rightarrow A_\mu + \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha
		\end{equation}
		
		\section{SU(2)规范对称性的推广}
		\subsection{同位旋对称性}
		假设波函数具有二分量同位旋结构：
		\begin{equation}
			\Psi = \begin{pmatrix}
				\psi_1 \\
				\psi_2
			\end{pmatrix}
		\end{equation}
		
		在全局SU(2)变换下：
		\begin{equation}
			\Psi \rightarrow U\Psi, \quad U = e^{i\theta_a\tau_a}, \quad a=1,2,3
		\end{equation}
		其中$\tau_a$为泡利矩阵。
		
		\subsection{局域规范变换}
		推广至局域变换$\theta_a=\theta_a(x)$，要求拉氏量不变。引入三个规范场$A_\mu^a$，协变导数定义为：
		\begin{equation}
			D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu^a\tau_a
		\end{equation}
		
		规范场的变换规律为：
		\begin{equation}
			A_\mu \rightarrow UA_\mu U^{-1} + \frac{i}{g}(\partial_\mu U)U^{-1}
		\end{equation}
		展开到一阶小量：
		\begin{equation}
			A_\mu^a \rightarrow A_\mu^a - \partial_\mu\theta^a + g\epsilon^{abc}\theta^bA_\mu^c
		\end{equation}
		
		\section{规范场强张量}
		类比电磁场张量$F_{\mu\nu}$，定义SU(2)场强：
		\begin{equation}
			F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g\epsilon^{abc}A_\mu^bA_\nu^c
		\end{equation}
		
		在规范变换下：
		\begin{equation}
			F_{\mu\nu} \rightarrow UF_{\mu\nu}U^{-1}
		\end{equation}
		
		\section{拉氏量构造}
		自由费米子部分：
		\begin{equation}
			\mathcal{L}_{\text{费米子}} = \bar{\Psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\Psi
		\end{equation}
		
		规范场动力学项：
		\begin{equation}
			\mathcal{L}_{\text{规范场}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu}
		\end{equation}
		
		完整拉氏量：
		\begin{equation}
			\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\text{费米子}} + \mathcal{L}_{\text{规范场}}
		\end{equation}
		
		\section{与电磁理论的比较}
		\begin{itemize}
			\item 非阿贝尔规范场存在自相互作用项($A^2$和$A^3$项)
			\item 规范场本身携带"荷"（如色荷）
			\item 规范不变性要求质量项$m^2A_\mu A^\mu$被禁止
		\end{itemize}
		
		\section{结论}
		杨-米尔斯理论通过将规范对称性推广到非阿贝尔群，为描述基本相互作用提供了强大框架。尽管最初的质量问题通过希格斯机制解决，这一工作已成为标准模型的核心数学结构。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{yang1954}
			Yang, C. N., \& Mills, R. L. (1954). "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance". \emph{Physical Review}, 96(1), 191.
			
			\bibitem{pdg}
			粒子数据组. (2023). "规范理论综述". \emph{中国物理C}, 47(5), 050001.
		\end{thebibliography}
		